Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 8
Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.
Uma equação da curva na figura é
em torno do eixo
Passo 1
A figura que ele deu é:
Com a curva
Aqui, queremos o colume de em torno do eixo
Como estamos trabalhando com rotação no eixo paralelo ao , devemos olhar o intervalo de variação nele. Vamos ter, pelo gráfico:
Para acharmos a função em , já que estamos rodando paralelo ao eixo vamos isolar o
Na verdade aqui, temos duas regiões. Uma da Curva até o eixo , e outra da retra até o eixo .
O volume vai ser a subtração dessas duas:
Onde:
da Curva até o eixo
da retra até o eixo
Vamos ver os raios de cada região:
Da vermelha para a verde, vamos ter:
O volume vai ser a subtração dos dois volumes,
Passo 2
Vamos resolver essas integral:
Passo 3
Vamos para a o outro volume:
Primeiro, vamos fazer:
Voltando para a nossa integral definida:
Lembrando que:
Voltando para as contas:
Passo 4
Nosso volume vai ficar: