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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 53

Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 + 2 x ,   pelo eixo x , e pelas retas x = 1   e x = 4 , gira em torno do eixo x .

Passo 1

Lembrando que o volume de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x é calculado pela fórmula:

V = π ∫ a b y 2 d x

Então, primeiramente, vamos calcular y 2 :

y 2 = 1 + 2 x 2

y 2 = 1 + 4 x + 4 x

Vamos reescrever essa expressão para facilitar o próximo passo!

y 2 = 1 + 4 x - 1 2 + 4 x

Passo 2

Agora calcularemos a integral indefinida:

∫ y 2 d x = ∫ 1 + 4 x - 1 2 + 4 x d x

∫ 1 + 4 x - 1 2 + 4 x d x = ∫ d x + 4 ∫ x - 1 2 + 4 ∫ 1 x d x

∫ 1 + 4 x - 1 2 + 4 x d x = x + 8 x + 4 ln ⁡ x + C

Passo 3

Por fim, mas não menos importante, vamos calcular o volume:

V = π ∫ 1 4 y 2 d x

V = π x + 8 x + 4 ln ⁡ x 4 1

V = π 4 + 16 + 4 ln ⁡ 4 - 1 + 8 + 4 ln ⁡ 1

V = π ( 11 + 4 ln ⁡ 4 )

Pera, pera, pera...Tá achando que acabou? Achou errado amiguinho

Repare que:

ln ⁡ 4 = ln ⁡ 2 2 = 2 ln ⁡ 2

Substituindo na equação do volume, chegamos em:

V = π ( 11 + 8 ln ⁡ 2 )

Resposta

V = π ( 11 + 8 ln ⁡ 2 )

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