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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 54a

Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno

  1. Do eixo x .
  2. Do eixo y .

Passo 1

O nosso sólido, independentemente do eixo coordenado em que ele será rotacionado, configurará um cone. É por isto que a questão nos pede para resolver por integração. Ela está nos testando! Para obtermos o volume, precisamos esboçar a região limitada, para identificar se utilizaremos o método dos discos ou dos anéis. Identificado o método e identificado os limites de integração (basta responder uma simples pergunta: qual o valor mínimo e máximo de x ou y na sua região?), só nos resta a parte mais fácil: integrar!!

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Como o eixo x está sob a aresta do triângulo, vamos utilizar o método dos discos. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ a b A x d x = ∫ a b π R x 2   d x

Em que R x é a função que define o raio externo da nossa figura. Ela é a reta que liga os pontos B = 0 , h e C = b , 0 . Desta forma, a equação da reta é:

y - y 0 = m x - x 0

y - h = h - 0 0 - b x - 0

y = - h b x + h

Portanto, R x = - h b x + h .

Passo 3

Agora que obtemos a curva, só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de x na nossa região? Eles são 0 e b, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 b π - h b x + h 2 d x

V = ∫ 0 b π h 2 b 2 x 2 - 2 h 2 b x + h 2 2 d x

V = π h 2 3 b 2 x 3 - h 2 b x 2 + h 2 x 0 b = π h 2 b 3 - h 2 b + h 2 b

V = π h 2 b 3

Resposta

V = π h 2 b 3

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