A região sob a curva y = t * g^2 * x de 0 a pi / 4 é girada em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante.

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido obtido ao girar a curva apresentada em torno do eixo x . Para isso, utilizaremos os conceitos de cálculo de volume utilizando integrais e a tabela de integrais.

Passo 2

Utilizando a definição de volume por rotação, temos

V = π ∫ 0 π / 4 t g 2 x 2 d x = π ∫ 0 π / 4 t g 4 x d x

Utilizando a entrada 75 da tabela de integrais, podemos resolver a integral

π ∫ 0 π / 4 t g 4 x d x = π 1 3 tan 3 ⁡ x - ∫ 0 π / 4 tan 2 ⁡ x d x 0 π / 4

Veja que caímos em outra integral, porém mais simples de ser resolvida, pois o expoente de tan ⁡ x é menor.

Passo 3

Utilizando a entrada 65 para resolver a integral que resta, temos

π 1 3 tan 3 ⁡ x - ∫ 0 π / 4 tan 2 ⁡ x d x 0 π / 4 = π 1 3 tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x + x 0 π / 4

Aplicando os valores em x temos

π 1 3 tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x + x 0 π / 4 = π 1 3 tan 3 ⁡ π / 4 - tan ⁡ π / 4 + π / 4 - 1 3 tan 3 ⁡ 0 - tan ⁡ 0 + 0 = π π 4 - 2 3

Resposta

V = π π 4 - 2 3

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