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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 32

A região sob a curva y = t g 2 x de 0 a π / 4 é girada em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante.

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido obtido ao girar a curva apresentada em torno do eixo x . Para isso, utilizaremos os conceitos de cálculo de volume utilizando integrais e a tabela de integrais.

Passo 2

Utilizando a definição de volume por rotação, temos

V = π ∫ 0 π / 4 t g 2 x 2 d x = π ∫ 0 π / 4 t g 4 x d x

Utilizando a entrada 75 da tabela de integrais, podemos resolver a integral

π ∫ 0 π / 4 t g 4 x d x = π 1 3 tan 3 ⁡ x - ∫ 0 π / 4 tan 2 ⁡ x d x 0 π / 4

Veja que caímos em outra integral, porém mais simples de ser resolvida, pois o expoente de tan ⁡ x é menor.

Passo 3

Utilizando a entrada 65 para resolver a integral que resta, temos

π 1 3 tan 3 ⁡ x - ∫ 0 π / 4 tan 2 ⁡ x d x 0 π / 4 = π 1 3 tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x + x 0 π / 4

Aplicando os valores em x temos

π 1 3 tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x + x 0 π / 4 = π 1 3 tan 3 ⁡ π / 4 - tan ⁡ π / 4 + π / 4 - 1 3 tan 3 ⁡ 0 - tan ⁡ 0 + 0 = π π 4 - 2 3

Resposta

V = π π 4 - 2 3

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por um arco da curva do seno em torno do eixo x .
A região limitada pela curva y = sec ⁡ x , pelo eixo x , pelo eixo y e pela reta x = π 4 gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = sen ⁡ x e y = cos ⁡ x para 0 ≤ x ≤ π 4 é girada em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação de um arco da senóide em torno do eixo x .
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = s e n x , a reta x= 1 2 π e eixo x.