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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 43

Se um motorista deseja que a velocidade escalar de seu carro aumente de 40 km/h para 100 km/h, enquanto percorre uma distância de 200 m, que aceleração constante ele deve manter?

Passo 1

Antes vamos reunir as informações que o exercício nos dá:

v 0 = 40   k m / h

v f = 100   k m / h

s = 200   m

E nos pede a aceleração constante para isso

Passo 2

Vamos trabalhar a diferenciação das equações:

a = d v d t

a   d t = d v

∫ a   d t = ∫ d v

v = a   t + C 1

Substituindo v e t pelos seus valores iniciais, temos que C 1 é a v 0 , logo C 1 = 40 , e:

v = a   t + 40

t = v - 40 a

Passo 3

Precisamos diferenciar mais uma vez para encontrar o espaço.

v = d s d t

v   d t = d s

∫ v   d t = ∫ d s

∫ a t + 40 d t = ∫ d s

s = a 2 t 2 + 40 t + C 2

E nesse caso C 2 é o espaço inicial, que é zero, logo

s = a 2 t 2 + 40 t

Passo 4

Agora vamos substituir a primeira equação dentro da segunda, pois nossa questão não envolve tempo:

s = a 2 ( v - 40 a ) 2 + 40 ( v - 40 a )

s = ( v 2 - 40 2 ) 2 a

Que basicamente é a equação de Torricelli:

a = ( v 2 - 40 2 ) 2 s

Passo 5

Substituindo os valores finais:

Lembrando que nossa distancia está em metros e devemos passar para km.

a = ( 100 2 - 40 2 ) 2 ⋅ 0,200

a = 21000   k m / h ²

Convertendo para m / s ²

a = 1,62   m / s ²

Resposta

a = 1,62   m / s ²

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