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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 1j

  1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais que

j) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4   e   y ≥ 0 .

Passo 1

Fórmula para o volume do sólido,

V = π ∫ a b f x 2 d x

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

Para 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,     s ã o   a s   c i r c u n f e r ê n c i a s   d e   r a i o   1   e   2 ,   c o m   a   r o t a ç ã o   e   d e l i m i t a d a   p o r   - 2 ≤ x ≤ 2 ,   o   g r á f i c o   s e r á   d e s s a   f o r m a :

  V 1 = π ∫ 0 2 4 - x 2 2 d x

  V 2 = π ∫ 0 1 1 - x 2 2 d x

Passo 3

Resolvendo...

V 1 - V 2 = π 4 x - x 3 3 | 0 2 - π x - x 3 3 | 0 1 = π 8 - 8 3 - 1 + 1 3 = π 16 3 - 2 3 = π 14 3

Como usamos a metade do intervalo, precisamos considerar a outra metade.

  V = 2 π 14 3

Resposta

  V = 28 π 3

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