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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 1h

  1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais que

h) 0 ≤ y ≤ x   e   x 2 + y 2 ≤ 2 .

Passo 1

Fórmula para o volume do sólido,

V = π ∫ a b f x 2 d x

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

Para   x 2 + y 2 ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ x , são as curvas   y = x   e circunferência de raio   2 , com a rotação e delimitada por   0 ≤ x ≤ 2 , o gráfico será dessa forma:

  V 1 = π ∫ 1 2 2 - x 2 2 d x

  V 2 = π ∫ 0 1 x 2 d x

Passo 3

Resolvendo...

V 1 + V 2 = π 2 x - x 3 3 | 1 2 + π x 3 3 | 0 1 = π 2 2 - 2 2 3 - 2 + 1 3 + 1 3 = π 6 2 3 - 2 2 3 - 6 3 + 2 3 = π 4 2 3 - 4 3 = 4 π 3 2 - 1

Resposta

  V = 4 π 3 2 - 1

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