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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 15

Ache o volume do sólido de revolução geradp éça rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta 4 .

O eixo y

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

Aqui, queremos o volume em torno do eixo y .

A região é entre a curva e o eixo x .

Como estamos trabalhando com rotação no eixo paralelo ao y , devemos olhar o intervalo de variação nele.

Para isso, devemos fazer x = 0 e x = 4 na equação da curva:

x = 0 → y = 0 = 0

x = 4 → y = 4 = 2

Com y = 0 até y = 2 .

Para acharmos a função em y , já que estamos rodando paralelo ao eixo y , vamos isolar o x

y = x → x = y 2

Na verdade aqui, temos duas regiões. Uma da Curva verde até o eixo y e da curva azul até o eixo y

O volume vai ser a subtração dessas duas:

V = V 1 - V 2

Onde:

da Curva verde até o eixo y → V 2

da reta azul até o eixo y → V 1

Vamos ver os raios de cada região:

r 2 y = y 2

Da vermelha para a verde, vamos ter:

r 1 y = 4

O volume vai ser a subtração dos dois volumes,

V = V 1 - V 2

V 2 = ∫ 0 2 π y 2 2 d y = ∫ 0 2 π y 4 d y

V 1 = ∫ 0 2 π 4 2 d y = ∫ 0 2 π 16 d y

Passo 2

Vamos resolver essas integral:

V 1 = ∫ 0 2 π 16 d y = 16 π ∫ 0 2 d y = 16 π y 0 2 = 16 π 2 - 0 = 32 π

Passo 3

Vamos para a o outro volume:

V 2 = ∫ 0 2 π y 4 d y

V 2 = π ∫ 0 2 y 4 d y

Primeiro, vamos fazer:

∫ y 4 d x = y 5 5 + C

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ 0 2 y 4 d y = π y 5 5 0 2 =

π 2 5 5 - π 0 5 5

Voltando para as contas:

π 32 5 =

32 π 5

Passo 4

Nosso volume vai ficar:

V = V 1 - V 2 = 32 π - 32 π 5 = π 32.5 - 32 5 = π 160 - 32 5 = 128 π 5

Resposta

128 π 5

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