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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 3

(a)Escreva uma integral para área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (i) eixo x e (ii) eixo y .(b) Use o recurso de integração numérica de sua calculadora para calcular as áreas da superfície com precisão de quatro casas decimais.

y = t g   x ,     0 ≤ x ≤ π 3

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! O enunciado nos da a seguinte função:

y = t g   x ,     0 ≤ x ≤ π 3

E pede pra a gente escrever a integral para área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x e eixo y . Despois ele quer que a gente calcule as áreas da superfície com precisão de quatro casas decimais!

Começando do começo... Para encontrarmos a área da superfície em torno do (i) eixo x e (ii) eixo y . Temos que a fórmula:

S = ∫     2 π y   d s ,  

onde d s = 1 + d y d x 2 d x .

Passo 2

Para o eixo x temos:

y = e - x 2 ⇒ d y d x = - 2 x e - x 2 ⇒ d s = 1 + d y d x 2 d x

d s = 1 + 4 x 2 e - 2 x 2 d x

Sendo assim, a integral que corresponde a área da superfície rotacionada em relação ao eixo x é

S = ∫   2 π y   d s = ∫ - 1 1   2 π   e - x 2 1 + 4 x 2 e - 2 x 2   d x  

Para o eixo y :

S = ∫   2 π x   d s =     ∫ - 1 1   2 π   x 1 + 4 x 2 e - 2 x 2   d x    

Passo 3

Na letra b o enunciado pede só o valor das áreas obtidos através de uma calculadora com função de integração numérica, então não precisamos usar técnicas de integração!

Dessa forma temos:

S = ∫ - 1 1   2 π   e - x 2 1 + 4 x 2 e - 2 x 2   d x   = 11,0753

E,

S =   ∫ - 1 1   2 π   x 1 + 4 x 2 e - 2 x 2   d x   = 7,9354

Resposta

S = ∫   2 π y   d s = ∫ - 1 1   2 π   e - x 2 1 + 4 x 2 e - 2 x 2   d x  

S = ∫   2 π x   d s =     ∫ - 1 1   2 π   x 1 + 4 x 2 e - 2 x 2   d x  

S x =   11,0753 e S y = 7,9354

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