Use um CAS para encontrar a área exata da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo dado. E^i * x * o * y em 1 ≤ y ≤ 15 .

x = raiz(16 - y)

Passo 1

A área da superfície de uma curva pode sere obtida utilizando uma fórmula geral:

S = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Sabendo que :

f y = 16 - y

f ' y = 1 2 16 - y

Aplicando na fórmula da superfície, temos:

S = 2 π ∫ 0 15 16 - y 1 + 1 2 16 - y 2 d y

Reorganizando temos:

S = 2 π ∫ 0 15 16 - y 1 + 1 2 16 - y 2 d y

S = 2 π ∫ 0 15 - 4 y + 65 2 d y

Por substituição u = - 4 y + 65 e d u = - 4 d y em 65 ≤ u ≤ 5 :

S = 2 π ∫ 5 6 5 - 1 2 u 4 d y

S = 2 π 1 12 u 3 / 2   5 65

S = π 65 65 - 5 5 6

Resposta

S = π 65 65 - 5 5 6

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