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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 11

Use um CAS para encontrar a área exata da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo dado. E i x o   y em 1 ≤ y ≤ 2 .

8 x y 2 = 2 y 6 + 1

Passo 1

A área da superfície de uma curva pode sere obtida utilizando uma fórmula geral:

S = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Sabendo que :

f y = 2 y 6 + 1 8 y 2

f ' y = y 3 - 1 4 y 3

Aplicando na fórmula da superfície, temos:

S = 2 π ∫ 1 2 2 y 6 + 1 8 y 2 1 + y 3 - 1 4 y 3 2 d y

Reorganizando temos:

S = 2 π ∫ 1 2 2 y 6 + 1 8 y 2 y 3 - 1 4 y 3 d y

S = 2 π ∫ 1 2 ( 2 y 6 + 1 ) ( 4 y 6 + 1 ) 32 y 5 d y

S = 2 π ∫ 1 2 8 y 12 + 6 y 6 + 1 32 y 5 d y

S = 2 π ∫ 1 2 y 7 4 + 3 y 16 + 1 32 y 5 d y

S = 2 π y 7 4 + 3 y 16 + 1 32 y 5 1 2

S = 16911 π 1024

Resposta

S = 16911 π 1024

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Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = x
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x y = x 3 6 + 1 2 x , 1 2 ≤ x ≤ 1
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = ln
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante x = a 2 - y 2 , 0 ≤ y ≤ a / 2