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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 6

Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do e i x o   y .

x = y 3 ,     0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

A área da superfície de uma curva pode sere obtida utilizando uma fórmula geral:

S = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Sabendo que :

f y = y 3

f ' y = 3 y 2

Aplicando na fórmula, temos:

S = 2 π ∫ 0 1 ( y 3 ) 1 + 3 y 2 2 d y

S = 2 π ∫ 0 1 ( y 3 ) 1 + 9 y 4 d y

Vamos resolver a integral utilizando integração por partes, onde:

u = 1 + 9 y 4

d u = 36 y 3 d y

d u 36 = y 3 d y

Alterando os limites de integração, quando x = 0 temos u = 1 , quando x = 1 temos u = 10 .

Integrando a função, temos:

S = 2 π ∫ 1 1 0 u d u 36 = 2 π 36 ∫ 1 10 u 1 / 2 d u

S = 2 π 36 . u 1 2 + 1 1 2 + 1 1 10

Calculando, temos:

S = 2 π 36 . u 3 2 3 2 1 10

S = 20 10 3 - 2 3 . 1 36 . 2 π

S = π ( 1 0 10 - 1 ) 27

Resposta

S = π ( 10 10 - 1 ) 27

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Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x y = 1 x , 1 ≤ x ≤ 2
Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x y = x 2 + 1 , 0 ≤ x ≤ 3
Se a curva infinita y = e - x , x ≥ 0 é girada em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante
Se a região R { ( x , y ) | x ≥ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 / x } é girada em torno do eixo x , o volume do sólido resultante é finito. Mostre que a área da superfície é infinita.
A fórmula 4 é valida apenas quando f x ≥ 0 . Mostre que quando f x não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície torna-se S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x