Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 3

Quais das afirmações a seguir com relação à função representada graficamente aqui são verdadeiras? E quais são falsas?

existe

existe em todo em

não existe

Passo 1

Questão envolvendo limite num ponto e gráfico só tem uma coisa a se fazer: olhar o gráfico da função um pouco a esquerda (vamos chamar isso de ) e um pouco a direita (vamos chamar isso de ) de .

Se os gráficos coincidirem, ótimo o limite existe e vale o valor do gráfico naquele ponto! Se não coincidir o limite não vai existir!

Essa questão envolve 2 pontos () e depois um intervalo . Então vamos calcular esses limites separadamente e depois analisamos as afirmações que ele deu!

Passo 2

Como o limite é pedido no ponto , vamos olhar o gráfico nesse ponto:

Olhando pela esquerda, vemos que a função se aproxima de 0, ou seja:

Olhando pela direita, vemos que a função se aproxima de 0, ou seja:

Como os limites deram iguais, temos que:

OBS: Só olhamos os valores da função ao redor do ponto e não exatamente o valor da função no ponto, ok?! Mesmo , ao redor do ponto a função está indo para que é o valor do limite.

Passo 3

b) Como o limite é pedido no ponto , vamos olhar o gráfico nesse ponto:

Olhando pela esquerda, vemos que a função se aproxima de -1, ou seja:

Olhando pela direita, vemos que a função se aproxima de 0, ou seja:

Tá vendo como deu diferente? Então o limite não existe!

Passo 4

Vamos olhar agora para o intervalo como um todo. Desenhei ele aqui embaixo para ficar mais fácil:

Para todos os pontos entre e , vemos que a função se aproxima da mesma forma tanto pela direita quanto pela esquerda, então o limite existe! Só para não restar dúvidas, dá um check no desenho que eu fiz aqui embaixo para um ponto qualquer do intervalo:

No ponto , nós já analisamos e vimos que o limite existe e vale .

Para todos os pontos entre e , temos a mesma situação do início do passo, ou seja, a função se aproxima dos mesmos valores tanto pela esquerda quanto pela direita, então o limite existe em todos os pontos! De novo trouxe aqui um gráfico num ponto qualquer para não ficar dúvidas!

Então para todos os pontos desse intervalo o limite vai existir! Podemos dizer até mais: em todos os pontos desse intervalo (exceto o 0) o limite vale o mesmo valor da função no ponto e no , vale (lembra que , mas isso não faz diferença).