Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.3 - Ex. 10
- O que há de errado com a equação a seguir?
- Em vista de (a), explique por que a equação
está correta.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar o que há de errado com a igualdade:
E o por quê de quando aplicarmos o limite dos dois lados, isso estará correto:
Para verificar isso, devemos observar se essas funções são de fato equivalentes, de modo que possuam o mesmo domínio (o mesmo conjunto de valores para ) e a mesma imagem .
Para analisar o domínio de uma função, geralmente olhamos para os valores que essa função não pode assumir, que são os chamados pontos de restrição. Isso pode ser um denominador igual a zero, uma raiz quadrada negativa e por aí vai.
No nosso caso, temos uma fração do lado esquerdo, então vamos analisar os valores que o denominador pode ou não assumir, para evitar que ele seja zero. Depois vamos comparar com as possíveis restrições de e ver se esses domínios são iguais.
Por fim, vamos inserir o conceito de limite e verificar porque ele pode ser aplicado ali.
Vamos lá!
Passo 2
(a) Vamos analisar a igualdade:
Como vimos no passo , o denominador de uma fração não pode ser zero, então temos:
Logo,
Isso significa que a função não pode assumir o valor , ela tem essa restrição. Então, seu domínio são todos os números reais exceto :
Agora analisando a função , vemos que ela é uma função polinomial, que pode assumir qualquer valor em seu domínio, inclusive o . Assim, temos:
Dessa forma, percebemos que as duas funções não são de fato iguais e por isso existe um erro naquela igualdade.
Passo 3
(b) Agora vamos aplicar o limite:
Pra calcular esse limite, precisamos fugir da indeterminação, então podemos fatorar a expressão da esquerda:
E simplificando ficaríamos com a mesma coisa do outro lado:
Mas por quê agora eu posso dizer que essa igualdade é válida? Porque o limite analisa os valores de uma função, nas proximidades de um ponto, mas não no ponto exatamente.
Em outras palavras, isso é válido porque , exceto quando . E no cálculo de um limite, quando tende a , não consideramos o que acontece quando é exatamente .
Ou seja, a expressão acima, não se trata do valor da função em e e sim o comportamento da função próxima a este ponto, portanto, vale o cancelamento que é feito e é valido a igualdade.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
- Perceba que essa equação só será válida quando .
- Igualdade está correta, pois o limite analisa os valores de uma função na proximidade de um ponto, mas não no ponto exatamente.