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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.3 - Ex. 7

Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.

7) lim x → 1 ⁡ 1 + 3 x 1 + 4 x 2 + 3 x 4 3

Passo 1

Olá, meu nobre. Aqui a gente vai resolver o limite dado.

MASSS, antes de cada passagem a gente vai justificar cada uma das propriedades usadas, o que é bom para você que está aprendendo limite recentemente ter mais confiança.

Nessa atividade eu vou utilizar as seguintes propriedades:

  1. lim x → a ⁡ f x n = [ lim x → a ⁡ f ( x ) ] n , n é um número inteiro positivo
  2. lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) lim x → a ⁡ g ( x ) , se lim x → a ⁡ g ( x ) ≠ 0
  3. lim x → a ⁡ [ f x ± g x ] = lim x → a ⁡ f ( x ) ± lim x → a ⁡ g ( x )
  4. lim x → a ⁡ c f ( x ) = c lim x → a ⁡ f ( x )
  5. lim x → a ⁡ c = c
  6. lim x → a ⁡ x = a
  7. lim x → a ⁡ x n = a n , onde n é um inteiro positivo

É isso, vamos a resolução.

Passo 2

Boa galera, para começar vamos adaptar um pouquinho! Usando a propriedade 1 iremos elevar agora todo o limite:

lim x → 1 ⁡ 1 + 3 x 1 + 4 x 2 + 3 x 4 3 = lim x → 1 ⁡ 1 + 3 x 1 + 4 x 2 + 3 x 4 3

Pela propriedade 2 iremos agora dividir os limites:

lim x → 1 ⁡ 1 + 3 x 1 + 4 x 2 + 3 x 4 3 = l i m x → 1 ( 1 + 3 x ) l i m x → 1 ( 1 + 4 x 2 + 3 x 4 ) 3

Usando a propriedade 3 poderemos individualizar os limites:

l i m x → 1 ( 1 + 3 x ) l i m x → 1 ( 1 + 4 x 2 + 3 x 4 ) 3 = l i m x → 1 1 + l i m x → 1   3 x l i m x → 1 1 + l i m x → 1 4 x 2 + l i m x → 1 3 x 4 ) 3

Calma que estamos quase lá!

Agora vamos usar a propriedade de número 4 iremos retirar as constantes do limite:

l i m x → 1 1 + l i m x → 1   3 x l i m x → 1 1 + l i m x → 1 4 x 2 + l i m x → 1 3 x 4 ) 3 = l i m x → 1 1 + 3 l i m x → 1   x l i m x → 1 1 + 4 l i m x → 1 x 2 + 3 l i m x → 1 x 4 ) 3

Usando a de número 5 e 6 temos os limites das constantes:

l i m x → 1 1 + 3 l i m x → 1   x l i m x → 1 1 + 4 l i m x → 1 x 2 + 3 l i m x → 1 x 4 ) 3 = 1 + 3 ∙ 1 1 + 4 l i m x → 1 x 2 + 3 l i m x → 1 x 4 ) 3

Agora vamos aplicar a última, número 7 iremos substituir o limite na função e elevar ao fator de cada um:

1 + 3.1 1 + 4 l i m x → 1 x 2 + 3 l i m x → 1 x 4 ) 3 = 4 1 + 4 ∙ 1 ² + 3 ∙ 1 4 ) 3

= 4 8 3

= 1 2 3

= 1 8

Resposta

lim x → 1 ⁡ 1 + 3 x 1 + 4 x 2 + 3 x 4 3 = 1 8

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Utilize o método do Exemplo 3 para determinar ( a ) o coeficiente angular da curva no ponto P dado, e ( b ) uma equação da reta tangente em P . y = 5 - x 2 P ( 1 , 4 )
81. a. Se underset(x - 2)(lim) (f (x) - 5)/(x - 2) = 3 , determine underset(x - 2)(lim) f (x) .b. Se underset(x - 2)(lim) (f (x) - 5)/(x - 2) = 4 , determine underset(x - 2)(lim) f (x) .
80. Se underset(x - - 2)(lim) (f (x))/(x^2) = 1 , determine a. underset(x - - 2)(lim) f ( x )
80. Se underset(x - - 2)(lim) (f (x))/(x^2) = 1 , determine b. underset(x - - 2)(lim) (f (x))/(x)
82. Se underset(x - 0)(lim) (f (x))/(x^2) = 1 , determine a. underset(x - 0)(lim) f ( x )