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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 54

Uma agência de propaganda determinou estatisticamente que se um fabricante de produtos matinais aumentar a verba para comerciais na televisão em x milhares, haverá um aumento no lucro total de 25 x 2 e - 0,2 x centenas. Qual deverá ser o aumento na verba de propaganda para que o fabricante tenha lucro máximo? Qual será o aumento correspondente no lucro da fábrica?

Passo 1

Seja L ( x ) a função lucro da empresa, que depende da verba x aplicada em comerciais de televisão. Perceba que, pelos dados do enunciado sobre o resultado do aumento de verba, podemos escrever, sem perda de generalidade, que:

L x - L 0 = 25 x 2 e - 0,2 x

L x = 25 x 2 e - 0,2 x + L ( 0 )

Temos então de forma explícita a função L ( x ) .

Passo 2

Para obter lucro máximo, pelo gráfico da função L ( x ) , sua derivada deve ser nula.

d L x d x = 50 x e - 0,2 x + 25 x 2 - 0,2 e - 0,2 x = 0

50 x - 5 x 2 = 0

Como x = 0 é um valor que não traz sentido lógico para o contexto da questão:

x = 10   m i l h a r e s

Passo 3

Podemos achar, portanto, o quanto o lucro aumentou com essa verba. Sendo ∆ L :

L 10 - L 0 = 25 10 2 e - 0,2 * 10

∆ L = 2500 e 2   c e n t e n a s   ≈ 338,34   c e n t e n a s

Resposta

Portanto, o aumento na verba de propaganda deverá ser de”

x = 10   m i l h a r e s

E o aumento correspondente no lucro será de aproximadamente:

∆ L = 338,34   c e n t e n a s

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