78) (a) Ache o valor médio da função f definida por f x = 1 x 2 no intervalo [ 1 , r ] .

(b) Se A for o valor médio encontrado na parte (a), ache lim r → ∞ ⁡ A .

Passo 1

(a) O valor médio (VM) de uma função integrável num intervalo fechado [ a ,   b ] é dado por:

V M = ∫ a b f x d x b - a

Portanto, o valor médio da função no intervalo [ 1 , r ] é dado por:

V M = 1 r - 1 ∫ 1 r 1 x 2   d x

Resolvendo a integral:

V M = 1 r - 1 . - 1 r - - 1 1

V M = 1 r - 1 . - 1 r + 1

V M = 1 r - 1 . r - 1 r

Simplificando:

V M = 1 r

Passo 2

Resolvendo o limite da função encontrada como valor médio, temos:

lim r → ∞ ⁡ 1 r = 0

Resposta

(a) V M = 1 r

(b) lim r → ∞ ⁡ 1 r = 0

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