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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.11 - Ex. 54

Um agrimensor, a 30 pés da base de um edifício, mede o ângulo de elevação até o topo do edifício como sendo de 75°. Quão exata deve ser a medição desse ângulo para que o erro percentual na estimativa da altura do edifício seja inferior a 4%?

Passo 1

Vamos usar a figura para nos orientar. Chamemos de θ o ângulo de elevação, e h a altura do prédio. Sabemos que o agrimensor está a uma distância de 30 pés da base, então podemos estabelecer a seguinte relação: h = 30   t g   θ , certo?

Então vamos lá, a variação da estimativa dessa altura se dá pela derivada dessa função, então:

d h = 30 sec 2 ⁡ θ   d θ

A partir daí nós vamos usar os dados do enunciado.

Passo 2

Nós queremos que d h < 0,04 h , ou seja, que o erro na estimativa da altura seja inferior a 4% dela. E temos que θ = 75 . Substituindo esses valores na equação do item anterior, temos:

30 sec 2 ⁡ 75   d θ < 0,04 ( 30   t g   75 )

Da definição de secante e tangente, temos:

30 1 cos 2 ⁡ 75 d θ < 0,04   30 s e n   75 cos ⁡ 75  

Desenvolvendo e simplificando temos:

d θ < 0,04 ( s e n   75 ) ( cos ⁡ 75 )

d θ < 0,01

Ou seja, o ângulo tem que variar menos de 0,01 graus.

Resposta

O ângulo tem que variar menos de 0,01 graus.

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