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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.11 - Ex. 63

Suponha que y = f x   seja derivável em x = a   e que g x = m x - a + c   seja uma função linear, em que m e c sejam constantes. Se o erro E ( x )   =   f ( x )   -   g ( x )   for suficientemente pequeno perto de x   =   a , poderemos pensar em utilizar g como aproximação linear de f em vez da linearização L ( x )   =   f ( a )   +   f ' ( a ) ( x   -   a ) . Demonstre que impondo a g as condições:

1. E a = 0

2 . lim x → a ⁡ E x x - a = 0

Então g ( x )   =   f ( a )   +   f ' ( a ) ( x   -   a ) . Assim, a linearização L(x) fornece a única aproximação cujo erro é zero para x = a , sendo ainda desprezível em comparação com x - a .

Passo 1

Vamos começar fazendo as substituições na relação do erro:

E x =   f x -   g x = f x - ( m x - a + c )

Então:

E a = f a - m a - a - c = 0

f a = c

Passo 2

Vamos usar agora lim x → a ⁡ E x x - a = 0

Substituindo, temos: lim x → a ⁡ f x -   g x x - a = lim x → a ⁡ f x - m x - a - c x - a = l i m x → a f x - f ( a ) x - a - m = 0  

Da definição de derivada, temos que l i m x → a f x - f ( a ) x - a = f ' ( a )

Então, f ' a - m = 0   e m = f ' ( a )

Passo 3

Substituindo em g ( x ) , ficamos com:

g x = f ' ( a ) x - a + f ( a )

Que é a aproximação linear, como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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