Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 46
Use a lei de Gauss para achar a carga dentro de um cubo com vértices se o campo elétrico for
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo certo?
A questão pede para usarmos a lei de Gauss para achar a carga dentro de um cubo com os vértices:
E campo elétrico igual a:
Para calcularmos a carga pela lei de Gauss, usamos a equação:
Ou seja, é a integral dupla do produto escalar entre a função do campo e o vetor unitário normal . Aqui temos seis superfícies a considerar, que são as 6 faces do nosso cubo. Então vamos ter 6 integrais diferentes para calcular.
Daí é só somarmos o valor das nossas 6 integrais e teremos o valor da carga total no cubo.
Passo 2
Como nossos vértices são as combinações dos pontos, cada variável pode assumir o valor de e :
Então, temos que o cubo é limitado por 6 planos:
- :
Considerando o plano o campo elétrico é
O vetor normal é aquele que é perpendicular, ou seja, faz com o plano que estamos analisando. Então, esse vetor vai ser paralelo ao eixo , então ele vai ter somente componente :
A região no espaço vai ser de um quadrado de lado , já que não estamos pegando o plano inteiro, mas só o que está limitado pelas demais variáveis para formar o cubo:
E o diferencial de área vai ser
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
Resolvendo a integral e aplicando os limites de integração:
Passo 3
Considerando o plano , o campo elétrico é
O vetor normal é aquele que é perpendicular, ou seja, faz com o plano que estamos analisando. Então, esse vetor vai ser paralelo ao eixo , então ele vai ter somente componente , mas como ele vai apontar no sentido negativo do eixo , temos:
A região no espaço vai ser de um quadrado de lado , já que não estamos pegando o plano inteiro, mas só o que está limitado pelas demais variáveis para formar o cubo:
E o diferencial de área vai ser
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
Resolvendo a integral e aplicando os limites de integração:
Beleza! Agora temos de repetir isso para e , mas por simetria podemos imaginar o que vai acontecer, não é? (tudo igual =D) Mas vamos fazer! Saca só!
Passo 4
Considerando o plano , o campo elétrico é
O vetor normal é aquele que é perpendicular, ou seja, faz com o plano que estamos analisando. Então, esse vetor vai ser paralelo ao eixo , então ele vai ter somente componente :
A região no espaço vai ser de um quadrado de lado , já que não estamos pegando o plano inteiro, mas só o que está limitado pelas demais variáveis para formar o cubo:
E o diferencial de área vai ser
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
Passo 5
Considerando o plano , o campo elétrico é
O vetor normal é aquele que é perpendicular, ou seja, faz com o plano que estamos analisando. Então, esse vetor vai ser paralelo ao eixo , então ele vai ter somente componente , mas como ele vai apontar no sentido negativo do eixo , temos:
A região no espaço vai ser de um quadrado de lado , já que não estamos pegando o plano inteiro, mas só o que está limitado pelas demais variáveis para formar o cubo:
E o diferencial de área vai ser
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
Show! Vamos calcular para os planos ?
Passo 6
o campo elétrico é
O vetor normal é aquele que é perpendicular, ou seja, faz com o plano que estamos analisando. Então, esse vetor vai ser paralelo ao eixo , então ele vai ter somente componente :
A região no espaço vai ser de um quadrado de lado , já que não estamos pegando o plano inteiro, mas só o que está limitado pelas demais variáveis para formar o cubo:
E o diferencial de área vai ser
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
Passo 7
Considerando o plano , o campo elétrico é
O vetor normal é aquele que é perpendicular, ou seja, faz com o plano que estamos analisando. Então, esse vetor vai ser paralelo ao eixo , então ele vai ter somente componente , mas como ele vai apontar no sentido negativo do eixo , temos:
A região no espaço vai ser de um quadrado de lado , já que não estamos pegando o plano inteiro, mas só o que está limitado pelas demais variáveis para formar o cubo:
E o diferencial de área vai ser
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
Agora juntando os resultados temos:
E é essa a carga dentro desse cubo!
Vamos pra próxima?