Algumas curvas são tão planas que, na prática, o método de Newton para demasiado longe da raiz para fornecer uma estimativa útil. Tente usar o método de Newton em f(x) = (x - 1)^40 com uma estimativa inicial de x0 = 2 para verificar o quanto a sua calculadora se aproxima da raiz x = 1 . Veja o gráfico a seguir.

Passo 1

Tomando o valor inicial dado, queremos ver quantas iterações serão necessárias para chegar na raiz da função f x = x - 1 40 utilizando o método de Newton de aproximação que pode ser resumido pela fórmula

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Passo 2

Primeiramente, vamos derivar a função para, então, substituirmos na fórmula acima

f x = x - 1 40 → f ' x = 40 ⋅ x - 1 39

Substituindo os valores de f x e f ' ( x ) vamos obter

x n + 1 = x n - x n - 1 40 40 ⋅ x n - 1 39

x n + 1 = x n - 1 40 ⋅ ( x n - 1 )

x n + 1 = 39 x n + 1 40

Tomando, então, x 0 = 2 vamos obter

x 0 + 1 = 39 x 0 + 1 40

x 1 = 39 ⋅ 2 + 1 40

x 2 = 79 40 = 1.975

Repetindo esse procedimento, vamos perceber que a cada iteração a diferença entre os termos vai se tornando cada vez menor e não se aproximam de 1 rapidamente como, por exemplo, x 87 = x 8 8 = … =   x 200 = 1.11051 que é 0.11051 maior que 1 (raiz exata).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados