Enunciado

Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo.

x 4 - 10 x + 5 = 0 ; a menor raiz positiva

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 4 x 3 - 10

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f 0 = 5 > 0 e f 1 = - 4 < 0 . Além disso, f ' x = 0 apenas para x = 5 2 3 ≅ 1,357 , ou seja, a função f x = x 4 - 10 x + 5 só tem duas raízes reais, e apenas uma delas é menor que 1,357 (basta olhar para seu gráfico). Portanto, o valor x 1 = 0,5 é razoável para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = 0,5 - 0,0625 - 9,5

x 2 = 0,5066

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = 0,5066 - 0,00006 - 9,48  

x 3 =   0,5066

Resposta

Ou seja, a menor raiz real da equação   x 4 - 10 x + 5 = 0 , com aproximação de quatro casas decimais, é:

x = 0,5066

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