Enunciado
Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.10 - Ex. 7
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo.
; a menor raiz positiva
Passo 1
Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:
Com um número natural, a raiz tem precisão de casas decimais se até a casa decimal. A função , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.
Passo 2
Devemos calcular a função , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:
Passo 3
Para escolher o valor de , perceba que e . Além disso, apenas para , ou seja, a função só tem duas raízes reais, e apenas uma delas é menor que (basta olhar para seu gráfico). Portanto, o valor é razoável para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:
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Resposta
Ou seja, a menor raiz real da equação, com aproximação de quatro casas decimais, é: