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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.7 - Ex. 14

Use o método de Newton para determinar duas soluções reais da e q u a ç ã o   x 4   -   2 x 3   -   x 2   -   2 x   +   2   =   0 .

Passo 1

Queremos utilizar o método de Newton que nos diz

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Para encontrarmos 2 raízes do polinômio dado. Dessa forma tomaremos 2 pontos iniciais para buscar essas raízes, assim, tomemos x 0 = 0.5 e x 0 = 2.5 .

Passo 2

Derivando nossa função encontraremos

f ' x = 4 x 3 - 6 x 2 - 2

Dessa forma, ficaremos com

x n + 1 = x n - x n 4 - 2 x n 3 - x n 2 - 2 x n + 2 4 x n 3 - 6 x n 2 - 2

Utilizando, primeiramente x 0 =   0.5 = 1 2 teremos

x 1 = x 0 - x 0 4 - 2 x 0 3 - x 0 2 - 2 x 0 + 2 4 x 0 3 - 6 x 0 2 - 2

x 1 = 1 2 - 1 2 4 - 2 ⋅ 1 2 3 - 1 2 2 - 2 ⋅ 1 2 + 2 4 ⋅ 1 2 3 - 6 ⋅ 1 2 - 2

x 1 = 1 2 - 1 16 - 1 4 - 1 4 - 1 + 2 1 2 - 3 - 2

x 1 = 1 2 - 1 16 - 2 4 + 1 1 2 - 5

x 1 = 1 2 - 1 16 - 8 16 + 1 6 16 1 2 - 10 2

x 1 = 1 2 - 9 16 - 9 2

x 1 = 1 2 + 1 8 = 4 8 + 1 8

x 1 = 5 8 = 0.625

Repetindo esse procedimento chegaremos em x 4 = 0.630115396

Passo 3

Utilizando, agora, x 0 =   2 . 5 e substituindo na fórmula da mesma maneira como fizemos para a raiz anterior vamos encontrar x 4 =   2.57327196 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Quantas soluções a equação s e n( 3 x )=0,99-x 2 possui?Use o método de Newton para determiná-las.
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Demonstre que, se h0 , aplicando o método de Newton para f x = x ,x ≥ 0 - x ,x0 que leva a x 1=-h se x 0=h e a x 1=h se x 0=-h . Desenhe uma figura que mostre o que ocorre.