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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.Exercícios práticos - Ex. 65

Altura de um poste: Dois fios são estirados do alto T de um poste em posição vertical aos pontos B e C no solo, em que C está 10m mais próximo à base do poste que B . Se o fio B T forma um ângulo de 35° com a horizontal e o fio C T forma um ângulo de 50° com a horizontal, qual a altura do poste?

Passo 1

E aí, galera! Vou te mostrar como fica o esboço desse desenho:

Pra esse problema, precisamos lembrar que:

tangente: t g x = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e

Aqui, nós vamos:

  1. Achar duas relações entre h e x;
  2. Isolar o x em uma relação;
  3. Jogar o x na segunda relação e achar h.

Beleza? Então partiu!

Passo 2

Nesse passo, vamos fazer o (1) daquele passo-a-passo ali em cima.

Olha bem pro desenho. Agora olha pro triângulo que tem o ângulo de 50°. Se eu quero uma relação que contenha x e h (que são catetos) e foi dado um ângulo, vamos usar a tangente desse ângulo!

t g x = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e → t g 50 = h x - 10

Analogamente, vamos fazer a mesma coisa com o triângulo que tem o ângulo de 35°

t g x = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e → t g 35 = h x

Passo 3

Vamos fazer o (2) aqui. Vou usar essa equação t g 35 = h x pra isolar o x .

t g 35 = h x → x = h t g 35 (eu passei o x pro outro lado como multiplicação e o t g 35 como divisão)

Show? Bora pro Passo 3!

Passo 4

Vamos fazer o que está no (3) e jogar x = h t g 35 em t g 50 = h x - 10 e aí é só isolar o h e prontinho!

t g 50 = h x - 10 → t g 50 = h h t g 35 - 10 . Tirando o mmc ali em baixo: t g 50 = h h t g 35 - 10 → t g 50 = h h - 10 ⋅ t g 35 t g 35 . Pela propriedade de divisão de frações (repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda): t g 50 = h h - 10 ⋅ t g 35 t g 35 → t g 50 = h ⋅ t g 35 h - 10 ⋅ t g 35 . Passando h - 10 ⋅ t g 35 como multiplicação para o outro lado:

t g 50 ⋅ ( h - 10 t g 35 ) = h ⋅ t g 35 → h ⋅ t g 50 - 10 ⋅ t g 50 ⋅ t g 35 = h ⋅ t g 35 Ali eu fiz a distributiva e agora vamos isolar o h . Passando h ⋅ t g 35 pro outro lado como subtração e - 10 ⋅ t g 50 ⋅ t g 35 como adição:

h ⋅ t g 50 - h ⋅ t g 35 = 10 ⋅ t g 50 ⋅ t g 35 → h ⋅ ( t g 50 - t g 35 ) = 10 ⋅ t g 50 ⋅ t g 35 → h = 10 ⋅ t g 50 ⋅ t g 35 t g 50 - t g 35

Olhando na tabela trigonométrica:

t g 35 = 0,70

t g 50 = 1,19

Vamos jogar esses valores em h = 10 ⋅ t g 50 ⋅ t g 35 t g 50 - t g 35 e aí achar o h .

h = 10 ⋅ t g 50 ⋅ t g 35 t g 50 - t g 35 → h = 10 ⋅ 1,19 ⋅ 0,70 1,19 - 0,70 → h = 8,33 0,49 = 17 m

Resposta

17 m

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