encontre o ângulo theta , onde 0 <= theta <= 2pi .

cos(2θ) + cos(θ) = 0

Passo 1

Beeem, a não ser que tenhamos uma calculadora, não temos como trabalhar com essa equação assim .rsrs. Precisamos alterar ela, mas como ? okay, ta vendo o cos ⁡ 2 θ ? ele tem que se transformar em alguma coisa de apenas cos ⁡ θ . Assim a resolução fica mais simples.

A gente pode utilizar a fórmula do arco metade para resolver nosso problema :

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

2 ⋅ cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ

cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1

Assim, equação fica:

( 2 cos 2 ⁡ θ - 1 ) + cos ⁡ θ = 0

2 cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 = 0

Passo 2

Olha só! Melhoramos muito nossa equação, ela ta prontinha. Se a gente fizer uma substituição

x = cos ⁡ θ

Então nosso problema se resume em calularmos uma equação de segundo grau, coisas que já fizemos mil vezes. Então bora la!!!

2 cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 = 0

2 x 2 + x - 1 = 0

x =   - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ - 1 2 ⋅ 2  

x = - 1 ± 9 4

x = - 1 ± 3 4

Então

x = - 1 + 3 4 = 1 2 → cos ⁡ θ = 1 2

ou

x = - 1 - 3 4 = - 1 → cos ⁡ θ = - 1

Passo 3

Para cos ⁡ θ = 1 2 , o θ pode assumir dois valores, π 3 e 5 π 3 :

E para cos ⁡ θ = - 1 , o θ pode assumir somente um valor, π :

Prontinho terminamos aqui. Te encontro na próxima resolução, : )

Resposta

θ = π 3 ,     θ = 5 π 3 ,     θ = π

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