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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 64a

(a)Mostre que underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((pi)/(2) - x) * tg x = 1

Passo 1

Esse limite nos daria uma indeterminação do tipo 0 * oo .

Pra resolver isso, podemos manipular a função de forma a se escrever do seguinte jeito:

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((pi)/(2) - x) * tg x = underset(x -> (pi)/(2))(l i m) (((pi)/(2) - x))/((1)/(tg x))

Aplicando pi // 2 diretamente na função, temos a indeterminação do tipo (oo)/(oo) , que é passível da aplicação da regra de L’Hôpital.

Derivamos numerador e denominador e teremos:

Passo 2

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) (((pi)/(2) - x))/((1)/(tg x)) = underset(x -> (pi)/(2))(l i m) (- 1)/(- csc^2 x) =

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) (1)/(csc^2 x) = underset(x -> (pi)/(2))(l i m) (1)/((1)/(sen^2 x)) =

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) sen^2 x

Já podemos aplicar diretamente pi // 2 e determinar:

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) sen^2 x = sen^2 ((pi)/(2)) = 1^2 = 1

Assim comprovamos que underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((pi)/(2) - x) * tg x = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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