(b)Mostre que lim x→(pi/2) (1/(pi/2-x) - tg x) = 0

Passo 1

Aplicando-se π / 2 direto em x , chegaríamos à indeterminação ∞ - ∞ , que em tese não tem como ser resolvida. Mas, manipulando um pouco essa função, conseguimos sair dela!

Segue uma maneira de resolver: pra isso, primeiro, substituímos tg ⁡ x pela definição básica sen ⁡ x cos ⁡ x

Vamos ter:

l i m x → π 2 1 π 2 - x - sen ⁡ x cos ⁡ x

Agora, vamos juntar tudo em um único quociente, a partir do MMC. Faça o cálculo com calma, e você vai chegar ao seguinte resultado:

Passo 2

l i m x → π 2 1 π 2 - x - sen ⁡ x cos ⁡ x = l i m x → π 2 2 cos ⁡ x - π sen ⁡ x + 2 x ∙ sen ⁡ x π cos ⁡ x - 2 x ∙ cos ⁡ x

Agora, se aplicássemos π / 2 em x , chegaríamos à indeterminação do tipo 0 0 , que é passível da aplicação da regra de L’Hôpital!

Derivando numerador e denominador, usando a regra da cadeia quando necessário, vamos chegar a:

l i m x → π 2 2 cos ⁡ x - π sen ⁡ x + 2 x ∙ sen ⁡ x π cos ⁡ x - 2 x ∙ cos ⁡ x = l i m x → π 2 - 2 sen ⁡ x - π cos ⁡ x + ( 2 sen ⁡ x + 2 x ∙ cos ⁡ x ) - π sen ⁡ x - ( 2 cos ⁡ x - 2 x ∙ sen ⁡ x )

Passo 3

Simplificando o que é possível, temos:

l i m x → π 2 - π cos ⁡ x + 2 x ∙ cos ⁡ x - π sen ⁡ x - 2 cos ⁡ x + 2 x ∙ sen ⁡ x

Aqui, ainda continuamos na indeterminação 0 0 ao tentar aplicar π / 2 em x . Assim, vamos a mais uma rodada de L’Hôpital. Derivamos novamente em cima e embaixo e vamos ter:

l i m x → π 2 π sen ⁡ x + ( 2 cos ⁡ x - 2 x ∙ sen ⁡ x ) - π cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x + ( 2 sen ⁡ x + 2 x ∙ cos ⁡ x )

Simplificando o que for possível, temos:

l i m x → π 2 π sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x - 2 x ∙ sen ⁡ x - π cos ⁡ x + 4 sen ⁡ x + 2 x ∙ cos ⁡ x )

Agora, ao calcularmos o limite, aplicando π / 2 em x , temos o seguinte:

l i m x → π 2 π sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x - 2 x ∙ sen ⁡ x - π cos ⁡ x + 4 sen ⁡ x + 2 x ∙ cos ⁡ x ) = π + 0 - π 0 + 4 + 0 = 0 4 = 0

Assim, fica provado o resultado do limite dado no exercício!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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