Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 64b
(b)Mostre que
Passo 1
Aplicando-se direto em , chegaríamos à indeterminação , que em tese não tem como ser resolvida. Mas, manipulando um pouco essa função, conseguimos sair dela!
Segue uma maneira de resolver: pra isso, primeiro, substituímos pela definição básica
Vamos ter:
Agora, vamos juntar tudo em um único quociente, a partir do MMC. Faça o cálculo com calma, e você vai chegar ao seguinte resultado:
Passo 2
Agora, se aplicássemos em , chegaríamos à indeterminação do tipo , que é passível da aplicação da regra de L’Hôpital!
Derivando numerador e denominador, usando a regra da cadeia quando necessário, vamos chegar a:
Passo 3
Simplificando o que é possível, temos:
Aqui, ainda continuamos na indeterminação ao tentar aplicar em . Assim, vamos a mais uma rodada de L’Hôpital. Derivamos novamente em cima e embaixo e vamos ter:
Simplificando o que for possível, temos:
Agora, ao calcularmos o limite, aplicando em , temos o seguinte:
Assim, fica provado o resultado do limite dado no exercício!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)