Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato.

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x

Passo 1

Fala aí, tudo bem com você?

Bom, essa questão pede pra gente usar o gráfico para estimar o valor do limite:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x

E depois teremos que usar a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato desse limite.

Então esse é o plano. Vamos fazer o gráfico e ver pra onde vai a função quando x tende ao infinito. Depois vamos usar L’Hospital. Mas vamos só relembrar aqui que regra é essa.

A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.

A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.

Assim, se

lim x → a ⁡   f x g x = ∞ ∞

Ou se

lim x → a ⁡   f x g x = 0 0

Podemos fazer:

lim x → a ⁡   f x g x = lim x → a ⁡   f ' x lim x → a ⁡   g ' x

Agora vamos tentar calcular nosso limite.

Passo 2

O gráfico da função y = 1 + 2 x x é esboçado a seguir

Note que conforme x vai crescendo, o gráfico vai se aproximando de algo em torno de 7 . Trata-se, portanto, de uma boa estimativa para o valor do limite.

Vamos agora calcular o limite e ver se essa estimativa está correta.

Passo 3

Agora vamos calcular o limite para valer.

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x

Quando x → ∞ , a função tende

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = 1 + 2 ∞ ∞ = 1 ∞

Opa!

Temos um limite indeterminado, porém ele não é do tipo L’Hospital.

Para que fosse, nosso limite deveria ter caído em uma indeterminação na forma 0/0 ou / .

Sendo assim, vamos tentar fazer algumas modificações algébrica em nossa função pra ver se conseguimos um limite na forma correta para usar o L’Hospital.

Passo 4

Podemos começar lembrando que y = e ln ⁡ y , e transformamos nosso limite em:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + 2 x x

E o expoente do ln pode cair pra frente dele multiplicando usando essa propriedade aqui:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Assim:

lim x → ∞ ⁡ e x ⋅ ln ⁡ 1 + 2 x

E passando o limite para o expoente da exponencial, ficamos com:

e lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 2 x

Desta forma, o limite que precisamos calcular é

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 2 x

Passo 5

É uma boa hora para fazer uma mudança de variável:

t = 1 x

Assim, quando x → ∞ , t → 0 . O limite fica:

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 2 x = lim t → 0 ⁡ ln ⁡ ( 1 + 2 t ) t

Note que se trata de uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 6

Lembrando que, como:

lim x → a ⁡   f x g x = 0 0

Podemos fazer:

lim x → a ⁡   f x g x = lim x → a ⁡   f ' x lim x → a ⁡   g ' x

Aplicando a regra em nossa função, devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador.

Vamos calcular as derivadas do numerador e denominador separadamente para evitar confusão.

lim t → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + 2 t t = lim t → 0 ⁡ 2 / 1 + 2 t 1

Que pode ser escrita com:

lim t → 0 ⁡ 2 1 + 2 t = 2

Assim, lembrando que estávamos calculando o limite que estava no expoente, temos:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = e 2 ≈ 7,4

Note que o valor exato do limite é próximo do estimado olhando para o gráfico.

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = 7,4

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