Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 69
Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato.
Passo 1
Fala aí, tudo bem com você?
Bom, essa questão pede pra gente usar o gráfico para estimar o valor do limite:
E depois teremos que usar a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato desse limite.
Então esse é o plano. Vamos fazer o gráfico e ver pra onde vai a função quando tende ao infinito. Depois vamos usar L’Hospital. Mas vamos só relembrar aqui que regra é essa.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
O gráfico da função é esboçado a seguir
Note que conforme vai crescendo, o gráfico vai se aproximando de algo em torno de . Trata-se, portanto, de uma boa estimativa para o valor do limite.
Vamos agora calcular o limite e ver se essa estimativa está correta.
Passo 3
Agora vamos calcular o limite para valer.
Quando , a função tende
Opa!
Temos um limite indeterminado, porém ele não é do tipo L’Hospital.
Para que fosse, nosso limite deveria ter caído em uma indeterminação na forma 0/0 ou /.
Sendo assim, vamos tentar fazer algumas modificações algébrica em nossa função pra ver se conseguimos um limite na forma correta para usar o L’Hospital.
Passo 4
Podemos começar lembrando que , e transformamos nosso limite em:
E o expoente do ln pode cair pra frente dele multiplicando usando essa propriedade aqui:
Assim:
E passando o limite para o expoente da exponencial, ficamos com:
Desta forma, o limite que precisamos calcular é
Passo 5
É uma boa hora para fazer uma mudança de variável:
Assim, quando , . O limite fica:
Note que se trata de uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 6
Lembrando que, como:
Podemos fazer:
Aplicando a regra em nossa função, devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador.
Vamos calcular as derivadas do numerador e denominador separadamente para evitar confusão.
Que pode ser escrita com:
Assim, lembrando que estávamos calculando o limite que estava no expoente, temos:
Note que o valor exato do limite é próximo do estimado olhando para o gráfico.