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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 12

Encontre a fórmula para f^(- 1) (x)

12 ) f (x) = root(5)(4 x + 2)

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f (x)

f (y) = x

f^(- 1) (x) = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f^(- 1) (x)

Bora lá?

Passo 2

Seja nosso y :

y = root(5)(4 x + 2)

y = (4 x + 2)^((1)/(5))

Podemos elevar os dois lados a quinta potência pra obter:

(y)^5 = ((4 x + 2)^((1)/(5)))^5

y^5 = (4 x + 2)^((1)/(5) * 5)

y^5 = (4 x + 2)^1

y^5 = 4 x + 2

Subtraindo 2 dos dois lados, teremos:

y^5 - 2 = 4 x + 2 - 2

y^5 - 2 = 4 x

E dividindo os dois lados por 4 , achamos:

(y^5 - 2)/(4) = (4 x)/(4)

x = (y^5 - 2)/(4)

Trocando x , y de lado, achamos:

y = (x^5 - 2)/(4)

E ta na mão nossa inversa:

f^(- 1) (x) = (x^5 - 2)/(4)

Resposta

f^(- 1) (x) = (x^5 - 2)/(4)

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