Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ 2 5 3 x   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a , b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = 3 x no intervalo [ 2,5 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Como f x = 3 x é uma reta crescente, é bem fácil achar os extremos. O mínimo fica em x = 2 , onde temos f 2 = 6 , e o máximo fica em x = 5 , onde temos f 5 = 15 . Como já temos os valores m = 6 e M = 15 , podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ 2,5 ] , m = 6 e M = 15 , sabemos então que:

m 5 - 2 ≤   ∫ 2 5 3 x   d x   ≤ M 5 - 2 ⇒ 6 ⋅ 3   ≤   ∫ 2 5 3 x   d x ≤ 15 ⋅ 3

⇒ 18 ≤ ∫ 2 5 3 x   d x ≤ 45

Resposta

∫ 2 5 3 x   d x ∈ [ 18,45 ]

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