Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 25

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo , o valor de estará entre e . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função no intervalo para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Primeiro analisaremos o gráfico da função , para definirmos o máximo e mínimo absoluto no intervalo . Derivando a função, temos:

Podemos ter um máximo ou mínimo relativo quando for zero ou quando não existir. O valor existe para qualquer real, então queremos no intervalo .

é uma raíz pra essa equação. As outras raízes são e , mas como não pertence ao intervalo, o descartamos. Então temos , pontos críticos da função no intervalo dado. Agora precisamos analisar os valores da função nesses pontos e no extremo (coincidentemente o outro extremo é também um ponto crítico), para descobrirmos os valores máximo e mínimo absolutos da função em [-4, 0].

Passo 3

Analisamos agora o valor da função nos pontos críticos e , e no extremo .

O mínimo absoluto do intervalo é então e o máximo é . Como já temos os valores e , podemos aplicar o teorema.

Passo 4

Aplicando diretamente o teorema, tendo , e , sabemos então que:

Resposta

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