Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 28
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:
(Teorema dado no livro)
Passo 1
O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo , o valor de estará entre e . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função no intervalo para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.
Passo 2
Pra acharmos o máximo e mínimo absolutos da função no intervalo dado, precisamos primeiro achar os pontos críticos. Derivando a função obtemos:
Teremos um ponto crítico quando a derivada for igual a zero ou não exisir. Como existe para todo , queremos , que temos pra , com sendo um número inteiro. Mas dentro do nosso intervalo o único valor que satisfaz é . Logo, temos em um ponto crítico. No intervalo, para temos (crescente) e para temos (decrescente). Logo, em temos um ponto máximo.
Agora basta comparar o valor de em e nos extremos do intervalo e , pra descobrirmos o máximo e mínimo absolutos do intervalo.
Passo 3
Comparamos agora os valores da função no ponto crítico e nos extremos:
Temos então e . Como já temos os valores e , podemos aplicar o teorema.
Passo 4
Aplicando diretamente o teorema, tendo , e , sabemos então que: