Enunciado

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - π / 3 2 π / 3 cos ⁡ x   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a ,   b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = cos ⁡ x no intervalo [ - π 3 , 2 π 3 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Pra acharmos o máximo e mínimo absolutos da função f x = cos ⁡ x no intervalo dado, precisamos primeiro achar os pontos críticos. Derivando a função obtemos:

f ' x = - sen ⁡ x

Teremos um ponto crítico quando a derivada for igual a zero ou não exisir. Como sen ⁡ x existe para todo x , queremos f ' x = - sen ⁡ x = 0 , que temos pra x = k π , com k sendo um número inteiro. Mas dentro do nosso intervalo o único valor que satisfaz x = k π é x = 0 . Logo, temos em x = 0 um ponto crítico. No intervalo, para x < 0 temos f ' x > 0 (crescente) e para x > 0 temos f ' x < 0 (decrescente). Logo, em x = 0 temos um ponto máximo.

Agora basta comparar o valor de f ( x ) em x = 0 e nos extremos do intervalo x = - π 3 e x = 2 π 3 , pra descobrirmos o máximo e mínimo absolutos do intervalo.

Passo 3

Comparamos agora os valores da função no ponto crítico e nos extremos:

f 0 = cos ⁡ 0 = 1

f - π 3 = cos ⁡ - π 3 = cos ⁡ π 3 = 1 2

f 2 π 3 = cos ⁡ 2 π 3 = - 1 2

Temos então m = f 2 π 3 = - 1 2 e M = f 0 = 1 . Como já temos os valores m e M , podemos aplicar o teorema.

Passo 4

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - π 3 , 2 π 3 ] , m = - 1 2 e M = 1 , sabemos então que:

m 2 π 3 - - π 3 ≤   ∫ - π / 3 2 π / 3 cos ⁡ x   d x ≤ M 2 π 3 - - π 3

⇒ - 1 2 ⋅ 2 π + π 3 ≤   ∫ - π / 3 2 π / 3 cos ⁡ x   d x ≤ 1 ⋅ 2 π + π 3

⇒ - π 2 ≤ ∫ - π / 3 2 π / 3 cos ⁡ x   d x ≤ π

Resposta

∫ - π / 3 2 π / 3 cos ⁡ x   d x ∈ [ - π 2 , π ]

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