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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 21

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ 0 4 x 2 d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a , b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = x 2 no intervalo [ 0,4 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Podemos perceber facilmente que a função f x = x 2 é crescente no intervalo [ 0,4 ] , então seu mínimo será no extremo da esquerda e seu máximo no extremo da direita. O mínimo fica em x = 0 , onde temos f 0 = 0 2 = 0 , e o máximo fica em x = 4 , onde temos f 4 = 4 2 = 16 . Como já temos os valores m = 0 e M = 1 6 , podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ 0,4 ] , m = 0 e M = 16 , sabemos então que:

m 4 - 0 ≤   ∫ 0 4 x 2   d x   ≤ M 4 - 0 ⇒ 0 ⋅ 4   ≤   ∫ 0 4 x 2   d x ≤ 16 ⋅ 4

⇒ 0 ≤ ∫ 0 4 x 2   d x ≤ 64

Resposta

∫ 0 4 x 2   d x ∈ [ 0,64 ]

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