Enunciado

Aplique o teorema abaixo para achar um intervalo fechado contendo o valor da integral definida dada ∫ - 2 1 2 x 3 - 3 x 2 + 1   1 / 3 d x

Teorema:

Se existir mínimo (m) e máximo (M) para f(x) num intervalo [a,b]

m ≤ f x ≤ M           p a r a         a ≤ x ≤ b  

Então,

m   b - a   ≤ ∫ a b f x d x ≤ M   b - a  

Passo 1

Temos que achar o máximo e mínimo de f(x) , logo precisamos fazer d f x d x = 0  

Passo 2

d d x 2 x 3 - 3 x 2 + 1 1 3 = 0

= 2 x x - 1 2 x 3 - 3 x 2 + 1 2 3 = 0

Temos 2 raizes : x=0 e x=1. Contudo x=1 , se aplicarmos na função obtemos 0 0   ,   Logo x=1 , não pertence ao Dominio dessa função.

Passo 3

Logo temos 3 candidatos para máximos e mínimos de f(X) : x = 0 ; e os extremos de nossa função , ou seja : x = - 2 ; x =   1 .

Testando os valores para 2 x 3 - 3 x 2 + 1 1 3

2 . 0 3 - 3 . 0 2 + 1 1 3 = 1

2 . 1 3 - 3 . 1 2 + 1 1 3 = 0

2 .   - 2 3 - 3 . - 2 2 + 1 1 3 = -3

Logo

m   b - a   ≤ ∫ a b f x d x ≤ M   b - a  

fica

- 3 . 3 ≤ ∫ - 2 1 2 x 3 - 3 x 2 + 1   1 3 d x ≤ 1   .   3

Resposta

- 9 ≤ ∫ - 2 1 2 x 3 - 3 x 2 + 1   1 3 d x ≤ 3

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