Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 22
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
A aproximação de pela regra de Simpson corresponde a , em que o gráfico de é composto de segmentos parabólicos ligados em pontos do gráfico de .
Passo 1
E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?
Bom, a ideia para esse exercício envolve principalmente a parte teórica, como a definição da Regra de Simpson e a representação geométrica.
A interpretação geométrica pode ser comprovada através do tópico relacionado a esse assunto na página do livro Cálculo Vol. - Ed. – ANTON, onde é dito que a Regra em questão utiliza de arcos parabólicos para melhorar a aproximação.
Passo 2
Dito isso, vamos relembrar alguns fatos: enquanto as regras trapezoidal e do ponto médio envolvem separadamente apenas a aproximação pela esquerda e direita e pelo ponto médio, respectivamente, temos que a Regra de Simpson usa as duas aproximações ao mesmo tempo.
Assim, caso a seção possua um número de subintervalos, ela possuirá pontos médios e
aproximações pela esquerda e direita e, consequentemente, a Regra de Simpson terá termos dentro dessa seção.
Passo 3
Então, podemos definir a aproximação pela Regra de Simpson como , tal que ela representa a integral:
Além de representar a média ponderada entre as duas outras aproximações (trapezoidal e do ponto médio ) que representam a integral:
Cujo gráfico tem subintervalos usando-se arcos parabólicos ao invés de segmentos de reta, o que auxilia numa melhor aproximação da concavidade que pode haver na curva a ser analisada.
Logo, esses fatos mostram que a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro