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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 41

A região delimitada pela curva y = 1 / ( 1 + e - x ) , os eixos x e y , e a linha x = 10 é rotacionada em torno do eixo x . Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o volume do sólido resultante.

Passo 1

Antes de utilizar a regra de Simpson, precisamos escrever a integral do volume para a curva dada, então, vamos utilizar:

V = ∫ 0 10 π f x 2 d x

Então, substituindo o valor de f ( x ) :

V = ∫ 0 10 π 1 + e - x 2 d x

Antes de começar o exercício, vamos determinar qual será o tamanho do intervalo em análise:

Δ x = 10 - 0 10 → Δ x = 1

Vamos começar o exercício relembrando rapidamente a fórmula para aproximar o valor de uma integral pela fórmula de Simpson:

∫ a b f x d x ≅ S n = Δ x 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Onde nós temos:

Δ x = b - a n ,     x i = a + i Δ x

Passo 2

Então, subsituindo os valores na fórmula, temos:

S 6 = 1 3 f 0 + 4 f 1 + 2 f 2 + 4 f 3 + 2 f 4 + 4 f 5 + 2 f 6 + 4 f 7 + 2 f 8 + 4 f 9 + f ( 10 )

Passo 3

Agora calculando os valores da função nos pontos de interesse, temos:

f 0 = 0 , 7854 ; f 1 = 1,6790 ; f 2 = 2,4372 ; f 3 = 2,8507 ; f 4 = 3,0296 ;

f 5 = 3,0997 ; f 6 = 3,1261 ; f 7 = 3,1359 ; f 8 = 3,1395 ; f 9 = 3,1408 ;

f 10 = 3,1413

Substituindo os valores fornecidos na tabela do enunciado, temos:

S 10 = 1 3 0,7854 + 4 1,6790 + 2 2,4372 + 4 2,8507 + 2 3,0296 + 4 3,0997 + 2 3,1261 + 4 3,1359 + 2 3,1395 + 4 3,1408 + 3,1413

Dessa forma, o resultado será:

S 10 = 27,71

Resposta

S 10 = 27,71

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Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado. ∫ 0 1 s e n x 3 d x ,n = 10
Use a Regra de Simpson com n= 8 para estimar o volume do sólido obtido ao girar a região mostrada na figura em torno do (a) eixo x e (b) eixo y.
Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado. ∫ 0 π 2 1 + c o s x3 ,n = 4
Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado. ∫ 0 2 e x 1 + x 2 ,n = 10
Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado. ∫ - 1 1 e e x d x ,n = 10