Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 88
Ar está sendo bombeado para dentro de um balão climático esférico. Em qualquer instante , o volume do balão é e seu raio é .
a) O que as derivadas e representam?
b) Expresse em termos de .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado dá uma situação em que um balão esférico é enchido com ar.
Queremos uma comparação entre a taxa de variação do volume () e a taxa de variação do raio ().
Aqui, mesmo te apresentando o iniciozinho da questão, já podemos responder a letra a):
é a taxa de variação do volume em relação ao tempo
E
é a taxa de variação do volume em relação ao raio
No mais... vale lembrar que o volume da esfera é função exclusiva do raio:
Assim, a taxa de variação do volume () deve ter alguma relação direta com a taxa de variação do raio ().
Essa relação será encontrada no item (b).
Agora vamos lá!! 😉
Passo 2
O volume é função do raio que, por sua vez, é função do tempo, então o volume também é função do tempo: .
Pela regra da cadeia:
Por outro, da fórmula do volume:
Assim, aplicando a regra da cadeia, temos:
Entendeu direitinho?? Responde aee😉
Resposta
a)
é a taxa de variação do volume em relação ao tempo
é a taxa de variação do volume em relação ao raio
b)