Enunciado

Ar está sendo bombeado para dentro de um balão climático esférico. Em qualquer instante t , o volume do balão é V ( t ) e seu raio é r ( t ) .

a) O que as derivadas d V / d t e d V / d r representam?

b) Expresse d V / d t em termos de d r / d t .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado dá uma situação em que um balão esférico é enchido com ar.

Queremos uma comparação entre a taxa de variação do volume ( d V / d t ) e a taxa de variação do raio ( d V / d r ).

Aqui, mesmo te apresentando o iniciozinho da questão, já podemos responder a letra a):

d V d t é a taxa de variação do volume em relação ao tempo

E

d V d R é a taxa de variação do volume em relação ao raio

No mais... vale lembrar que o volume da esfera é função exclusiva do raio:

V = 4 π 3   r 3

Assim, a taxa de variação do volume ( d V / d t ) deve ter alguma relação direta com a taxa de variação do raio ( d V / d r ).

Essa relação será encontrada no item (b).

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

O volume é função do raio que, por sua vez, é função do tempo, então o volume também é função do tempo: V t = V r t .

Pela regra da cadeia:

d V d t = d d t   V r t = d V d r ⋅ d r d t

Por outro, da fórmula do volume:

d V d r = 4 π 3 ⋅ 3 r 2 ∴

d V d r = 4 π r 2

Assim, aplicando a regra da cadeia, temos:

d V d t = 4 π r 2 d r d t

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

a)

d V d t é a taxa de variação do volume em relação ao tempo

d V d R é a taxa de variação do volume em relação ao raio

b)

d V d t = 4 π r 2 d r d t

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