Ar está sendo bombeado para dentro de um balão climático esférico. Em qualquer instante t , o volume do balão é V ( t ) e seu raio é r ( t ) .a) O que as derivadas d V / d t e d V / d r representam?b) Expresse d V / d t em termos de d r / d t .

a) d V d t é a taxa de variação do volume em relação ao tempo d V d R é a taxa de variação do volume em relação ao raiob) d V d t = 4 π r 2 d r d t

Enunciado

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado dá uma situação em que um balão esférico é enchido com ar.

Queremos uma comparação entre a taxa de variação do volume () e a taxa de variação do raio ().

Aqui, mesmo te apresentando o iniciozinho da questão, já podemos responder a letra a):

é a taxa de variação do volume em relação ao tempo

é a taxa de variação do volume em relação ao raio

No mais... vale lembrar que o volume da esfera é função exclusiva do raio:

Assim, a taxa de variação do volume () deve ter alguma relação direta com a taxa de variação do raio ().

Essa relação será encontrada no item (b).

Agora vamos lá!! 😉

O volume é função do raio que, por sua vez, é função do tempo, então o volume também é função do tempo: .

Pela regra da cadeia:

Por outro, da fórmula do volume:

Assim, aplicando a regra da cadeia, temos:

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

é a taxa de variação do volume em relação ao tempo

é a taxa de variação do volume em relação ao raio