Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 108

Usando a regra da cadeia, mostre que a regra da potência d d x x n = n x - 1 vale para as funções x n

x 3 / 4 = x x

Passo 1

Esta questão é bastante prática. Precisamos obter a derivada da função aplicando a regra da potência e provar que, se a nossa função é escrita a partir de funções compostas, e derivarmos estas utilizando a regra da cadeia, obteremos exatamente o mesmo resultado. Uma excelente forma de confirmarmos que a regra funciona! Vamos fazer só uma revisão básica de regra da cadeia. Se tivermos uma função f ( x ) e outra g ( x ) tais que:

y = f g x

A derivada de y é:

y ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Agora que relembramos este conceito, vamos direto as contas!

Passo 2

Vamos começar derivando a função utilizando a regra da potência. Desta forma, temos:

x 1 4 ' = 3 4 ⋅ x 3 4 - 1 = 3 4 ⋅ x - 1 4 = 3 4 x

Passo 3

Vamos utilizar a regra da cadeia agora. Seja f x = x = x 1 2 e g x = x x . Então:

f g x = x x

Vamos obter agora a derivada f ' x = g ' ( x ) . Assim, temos:

f ' x = x 1 2 ' = 1 2 ⋅ x 1 2 - 1

f ' x = 1 2 ⋅ x - 1 2 = 1 2 x  

Passo 4

Se fizermos a função composta f ' g x , obtemos:

f ' g x = f ' x = 1 2 x x = 1 2 x 3 / 2 = 1 2 x 3 / 4

Passo 5

Vamos obter a derivada da função g ( x ) . Para isto, aplicaremos a regra de produto aqui. Temos então:

g ' x = x x ' = x ' ⋅ x + x ⋅ x '

g ' x = x + x ⋅ 1 2 x - 1 / 2

g ' x = x + 1 2 x = 3 x 2 = 3 x 1 / 2 2

Passo 6

Vamos finalizar de calcular a derivada da função utilizando a regra da cadeia. Para isto, multiplicamos f ' g x por g ' x . Assim, obtemos:

1 2 x 3 / 4 ⋅ 3 x 1 / 2 2 = 3 4 ⋅ x ( 1 2 - 3 4 )

3 4 ⋅ x - 1 4 = 3 4 x

Logo, acabamos de verificar que tanto faz utilizar a regra da cadeia ou a regra da potência, o resultado será exatamente o mesmo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y=log 2 ⁡ ( 8 t ln ⁡ 2 )
Se y = A sin ( ⁡ ln ⁡ ( x ) ) + Bc o s ⁡( ln ⁡ ( x ) ) , sendo A e B constantes, mostre que: x 2 y ' ' + x y ' + y = 0
Usando indução matemática, mostre que d n d x n ln ⁡ x = - 1 n - 1 n - 1 ! x n
Se escrevermos g ( x ) para f - 1 ( x ) , a Equação 1 pode ser escrita como: g ' f a =1 f ' ( a ) ou g ' f a . f ' a = 1 A última equação pode fazer com que você se lembre da regra da cadeia; de fato
Determine a derivada da função: y=3-0,7 x 3+0,3 x 7