Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 108
Usando a regra da cadeia, mostre que a regra da potência vale para as funções
Passo 1
Esta questão é bastante prática. Precisamos obter a derivada da função aplicando a regra da potência e provar que, se a nossa função é escrita a partir de funções compostas, e derivarmos estas utilizando a regra da cadeia, obteremos exatamente o mesmo resultado. Uma excelente forma de confirmarmos que a regra funciona! Vamos fazer só uma revisão básica de regra da cadeia. Se tivermos uma função e outra tais que:
A derivada de é:
Agora que relembramos este conceito, vamos direto as contas!
Passo 2
Vamos começar derivando a função utilizando a regra da potência. Desta forma, temos:
Passo 3
Vamos utilizar a regra da cadeia agora. Seja e . Então:
Vamos obter agora a derivada . Assim, temos:
Passo 4
Se fizermos a função composta , obtemos:
Passo 5
Vamos obter a derivada da função . Para isto, aplicaremos a regra de produto aqui. Temos então:
Passo 6
Vamos finalizar de calcular a derivada da função utilizando a regra da cadeia. Para isto, multiplicamos por . Assim, obtemos:
Logo, acabamos de verificar que tanto faz utilizar a regra da cadeia ou a regra da potência, o resultado será exatamente o mesmo!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)