Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 96b
Coeficientes angulares de senoides
- Determine as equações para as tangentes às curvas e na origem. Existe algum aspecto diferente no modo como essas tangentes estão relacionadas? Justifique a sua resposta.
- O que se pode dizer sobre as tangentes às curvas e na origem (m é uma constante )? Justifique sua resposta.
- Para dado , quais são os maiores valores de coeficiente angular que as curvas e podem ter? Justifique sua resposta.
- A função completa um período no intervalo , a função , dois períodos, a função , meio período, e assim por diante. Existe alguma relação entre o número de período que completa em e o coeficiente angular da curva na origem? Justifique sua resposta.
Passo 1
Para podermos resolver esta questão, precisamos relembrar a equação de uma reta. Desta forma, uma reta é dada pela seguinte equação:
Em que são as coordenadas do ponto de tangência. No caso da origem, o ponto é . O que nos falta determinar é esse . O que ele é?
O número é chamado de coeficiente angular da reta. E ele é calculado através da derivada da nossa função! Revisado estes conceitos, vamos a nossa questão.
Passo 2
Vamos determinar as equações das retas tangentes às curvas e na origem para poder comparar o que ocorre com elas. Portanto, precisamos obter o coeficiente angular de cada uma das retas. Vamos começar por obter o da função . Derivando-a, temos:
Quando , temos .
Agora, para , temos:
Consequentemente, quando ,
Passo 3
Vamos obter a equação das retas tangentes agora. Para a curva , temos:
Já para a curva , temos:
Passo 4
Agora vamos analisar a relação entre ambas as retas tangentes. Observe o produto entre os dois coeficientes angulares.
Como o produto entre o coeficiente angular de ambas deu , sabemos que elas são perpendiculares!
Resposta
A reta tangente à curva é:
A reta tangente à curva é:
As retas são perpendiculares entre si.