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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 19

Área A área A de um triângulo, com lados de comprimento a e b formando um ângulo θ , é

A = 1 2 a b   s i n ⁡ ( θ )

a. Como d A / d t está relacionada a d θ / d t   se a e b são constantes?b. Como d A / d t está relacionada a d θ / d t   e d a / d t se somente b é constante?c. Como d A / d t está relacionada a d θ / d t , d a / d t , d b / d t se nem a, nem b, nem θ são constantes?

Passo 1

Precisamos ter atenção e organização nessa questão pois quanto mais variáveis a questão tiver mais derivadas a questão terá, uma vez que só conseguimos derivar separadamente cada variável. Então a letra A onde somente θ é variável é uma bom aquecimento para as próximas que virão.

Letra a)

d A d t = 1 2 a b d d t ( sin ⁡ θ )

Já que 1 2 a b   é   c o n s t a n t e  

d A d t = 1 2 a b   c o s θ d θ d t

Passo 2

Letra b)

Agora a também é variável.

d A d t = 1 2 b d d t ( a s i n θ )

Separando as variáveis temos:

d A d t = 1 2 a b d d t ( sin ⁡ θ ) + 1 2 b s i n θ d d t ( a )

Então ficamos com:

d A d t = 1 2 a b c o s θ d θ d t + 1 2 b s i n θ d a d t

Passo 3

Para a letra c)

Agora além de θ e a , b também é variável:

d A d t = 1 2 d d t ( a b   s i n θ )

Separando as variáveis:

d A d t = 1 2 a b d d t ( sin ⁡ θ )   + 1 2 b s i n θ d d t a + 1 2 a s i n θ d d t ( b )

O que nos dá:

d A d t = 1 2 a b c o s θ d θ d t + 1 2 b s i n θ d a d t + 1 2 a s i n θ d b d t

Resposta

  1. d A d t = 1 2 a b   c o s θ d θ d t

  2. d A d t = 1 2 a b c o s θ d θ d t + 1 2 b s i n θ d a d t  

  3. d A d t = 1 2 a b c o s θ d θ d t + 1 2 b s i n θ d a d t + 1 2 a s i n θ d b d t  
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