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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 22

Mudança nas dimensões de uma caixa retangular Suponha que as taxas de variação nos comprimentos dos lados x, y e z de uma caixa retangular sejam as seguintes:

d x / d t = 1 m/s,

d y / d t = - 2 m/s

d z / d t = 1 m/s.

Determine as taxas de variação de:

  1. volume,
  2. área da superfície
  3. Comprimento da diagonal(s)

s = x 2 + y 2 + z 2 no instante em que x = 4,y = 3 e z = 2.

Passo 1

Note que a questão é muito parecida com a questão 21, recomendando-se aqui que dê uma olhada nessa questão, ao menos que você tenha acabado de fazer ela :D .

Como a questão detalhou bem as variáveis do problema vamos começar com a mão na massa.

Letra a)

O volume pode ser escrito como:

V = x y z  

E sua variação no tempo pode ser escrita como:

d V d t = y z d x d t + x z d y d t + x y d z d t

Substituindo os valores temos:

d V d t = 3 m × 2 m × 1 m s + 4 m × 2 m × - 2   m s + 4 m × 3 m × 1 m s = 2   m 3 s  

Passo 2

Letra b)

A área da superfície pode ser dada como:

S = 2 x y + 2 y z + 2 x z

E sua variação no tempo pode ser dada como:

d S d t = 2 d d t x y + y z + x z = 2 d d t x y + d d t y z + d d t x z

Fazendo a primeira derivada dentro do colchete:

d d t x y = x d y d t + y d x d t

Fazendo a segunda derivada dentro do colchete:

d d t y z = y d z d t + z d y d t

Finalmente fazendo a terceira:

d d t x z = x d z d t + z d x d t  

Somando essas três derivadas:

x + y d z d t + x + z d y d t + y + z d x d t    

Com isso finalmente conseguimos dizer o que é nossa taxa de variação da área da superfície:

d S d t = 2 x + y d z d t + x + z d y d t + y + z d x d t    

Não esqueça o 2 lá do começo Substituindo agora os termos, nós temos:

d S d t = 2 4 + 3 m × 1   m s   + 4 + 2 m × - 2   m s + 3 + 2 m × 1   m s    

d S d t = 2 × [ 7 - 12 + 5 ]

d S d t = 0 m 2 s

Passo 3

Letra c)

O comprimento da diagonal (s) nos foi dado e é:

s = x 2 + y 2 + z 2

E sua variação no tempo é:

d s d t = 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 × d d t ( x 2 + y 2 + z 2 )

Fazendo a derivada interna e arrumando:

d s d t = 2 x d x d t + 2 y d y d t + 2 z d z d t 2 x 2 + y 2 + z 2  

Substituindo os valores:

d s d t = 2 × 4 m × 1 m s + 2 × 3 m × - 2 m s + 2 × 2 m × 1   m s 2   4 2 + 3 2 + 2 2 m

d s d t = 0 2   29 = 0 m s

Resposta

  1. 2 m 3 s

  2. 0 m 2 s

  3. 0 m s
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