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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 41

Uma partícula move-se ao longo da curva y   = x x 2   +   1 . Encontre todos os valores de x nos quais a taxa de variação de x em relação ao tempo é três vezes a de y . [Suponha que d x / d t nunca é nula.]

Passo 1

Olha que maneiro, nessa questão quando ele fala “Encontre todos os valores de x nos quais a taxa de variação de x em relação ao tempo é três vezes a de y ”, o enunciado já está nos dando uma das equações que vamos usar:

d x d t = 3 d y d t                           e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 2

Agora partiu derivar a expressão da curva?

y   = x x 2   +   1                               ⇒                     x 2 + 1 y = x             ⇒               x 2 y + y = x

Derivando...

d d t x 2 y + y = d x d t

d x 2 y d t + d y d t = d x d t

Pela Regra da derivada do produto:

d x 2 d t y + d y d t x 2 + d y d t = d x d t

Usando agora a Regra da Cadeia:

d x d t 2 x y + d y d t x 2 + d y d t = d x d t

Agora é só organizar melhor

d y d t 1 + x 2 = d x d t 1 - 2 x y                   e q u a ç ã o   ( 2 )

Passo 3

Relacionando as equações (1) e (2):

d x d t = 3 d y d t                           e q u a ç ã o   ( 1 )

d y d t 1 + x 2 = d x d t 1 - 2 x y                   e q u a ç ã o   ( 2 )

Pra isso vamos substituir (1) em (2)

d y d t 1 + x 2 = 3 d y d t 1 - 2 x y

Como que d x / d t nunca é nula, d y / d t   também nunca é nula, então posso dividir por ela:

1 + x 2 = 3 1 - 2 x y

Como estamos interessados nos valores de x , seria legal se o y sumisse. Pra isso acontecer podemos colocar a própria função, ou seja, y   = x x 2   +   1 :

1 + x 2 = 3 1 - 2 x x x 2   +   1

1 + x 2 = 3 - 6 x 2 x 2 + 1  

1 + x 2 = 3 ( x 2 + 1 ) - 6 x 2 x 2 + 1

1 + x 2 2 = 3 ( 1 - x 2 )

1 + 2 x 2 + x 4 = 3 - 3 x 2

Chegamos em:

x 4 + 5 x 2 - 2 = 0

Passo 4

Pra resolver essa equação (que geralmente chamamos de biquadrada), vamos chamar u = x 2

x 4 + 5 x 2 - 2 = 0       ⇒       u 2 + 5 u - 2 = 0

Usando Bhaskara vamos chegar que:

u = - 5 ± 33 2

Como u = x 2 , u   deve ser positivo, então ficamos com o caso:

u = - 5 + 33 2 = x 2

Então:

x = ± - 5 + 33 2

Resposta

± - 5 + 33 2

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