Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 43
A equação das lentes finas em Física é:
onde é a distância do objeto à lente, é a distância da imagem à lente e é a distância focal da lente. Suponha que uma certa lente tenha um comprimento focal de e que um objeto se move em direção a ela a uma taxa de . Com que rapidez estará variando a distância da imagem no instante em que o objeto estiver a da lente? A imagem estará se afastando ou se aproximando da lente?
Passo 1
Já que estamos interessados em relacionar as velocidades de objeto e imagem, parece uma boa ideia derivar essa equação em relação ao tempo né? Fazendo isso fica assim:
Mas é a distância focal, que não se altera. Como derivada de constante é zero, temos que:
Pela Regra da Cadeia:
Passo 2
Como o enunciado nos diz que comprimento focal de , então
Além disso o objeto se move em direção a lente a uma taxa de . Vamos chegar que:
Lembrando de atentar pro sinal negativo, pois se está se movendo em direção a lente, a distância está DIMINUINDO.
E queremos saber com que rapidez estará variando a distância da imagem, ou seja, estamos interessados no .
Passo 3
Mas se quisermos usar aquela equação que achamos vamos precisar descobrir o valor de naquele instante. pra isso vamos usar que:
E também vamos usar , pois o objeto está a da lente e
Passo 4
Agoooora sim substituindo todos esses dados que temos na equação (1):
Então chegamos que:
Como a imagem está se afastando da lente.
Resposta
; afastando