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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.4 - Ex. 26

Uma arma é disparada com ângulo de elevação de 30 ° . Qual a velocidade de disparo se o máximo de altura que a bola atinge são 500 m ?

Passo 1

Olá, tudo bem? A função posição de uma partícula que está sob o movimento de projéteis é dada por:

r → t = v 0 x t i → + v 0 y t - g t 2 2 j →

Pela decomposição de vetores, sabemos que a componente horizontal v 0 x e a componente vertical v 0 y da velocidade é:

v = v 0 x i → + v 0 y j → = v cos ⁡ θ i → + v   sin ⁡ θ j →

E como o ângulo de lançamento é θ = 30 ° , a função da posição fica:

r → t = v 3 2 t i → + v 2 t - g t 2 2 j →

A função horária da posição no instante t é dada pela derivada temporal de r → t :

d r → t d t = v 3 2 i → + v 2 - g t j →

Passo 2

O problema diz que a bola tem uma altura máxima de 500 m , ou seja, ela momentaneamente para de subir na altura de 500 m . Assim a componente vertical da velocidade é zero nesse instante:

v 2 - g t = 0

v 2 = g t

t = v 2 g

Passo 3

E podemos substituir esse tempo na componente vertical da posição, pois sabemos que a bola subiu até uma altura de 500 m . Resgatando lá do passo 1 a componente vertical da função posição em função do tempo:

v 2 t - g t 2 2 = 500

Substituindo pelo tempo que encontramos no passo 2 :

v 2 v 2 g - g 2 . v 2 g 2 = 500

v 2 4 g - v 2 8 g = 500

v 2 8 g = 500

v 2 = 500.8 g

v = 500.8 . 9,8 ≈ 198 m / s

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

198 m / s

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Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. x = t 2 + 3 ,y = ln ⁡ ( t 2 + 3 ) ,z = t ; ( 2 , ln ⁡ 4 , 1 )
Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros x 2 + y 2 = 25 e y 2 + z 2 = 20 no ponto ( 3,4 , 2 ) .
Mostre que o vetor tangente a uma curva definida por uma função vetorial r(t) aponta no mesmo sentido da curva com t aumentando. [Dica: Consulte a Figura 1 e considere os casos h0 e h0 separadamente.]
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t
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