Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 27
Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .
Passo 1
Fala aí! Precisamos encontrar a equação para a reta tangente, certo?
Bom, vamos começar parametrizamos a curva da interseção, e vamos chamar ela de , ok?
A projeção de no plano vai estar contida no círculo:
E nesse momento temos:
Precisamos lembrar que, como temos um círculo, a gente pode parametrizar a partir da função seno e cosseno, ok? Vamos ficar com:
Tranquilo? Vamos continuar!
Passo 2
Bom, mas o outro cilindro também está contido, né? Então agora é a vez dele!
E nesse caso, próximo do ponto dado, a gente pode ver que:
E por que isso é importante? Porque aí a gente pode fazer o seguinte:
E o a gente já descobriu, né? Vamos substituir ele então:
Passo 3
Beleza! Agora já temos uma equação vetorial para a nossa intercessão, , né? Vamos escrever ela aqui:
Para derivarmos da nossa curva precisaremos utilizar da regra da cadeia, já que temos aqui uma situação de função composta:
Agora a gente precisa fazer a derivada da nossa equação, ok?
Vamos:
Ficou meio estranha, né? Mas não se assusta não! Vamos continuar!
Passo 4
O ponto que nosso enunciado deu pra gente foi , como fizemos a parametrização vamos ter que esse ponto corresponde a
então o vetor tangente é:
Opa! Estamos quase lá! Sendo a linha tangente paralela a esse vetor e passando através dos pontos , então a nossa equação vetorial para a linha será:
Uhul! Show de bola! Conseguimos!