Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 56
Mostre que o vetor tangente a uma curva definida por uma função vetorial r(t) aponta no mesmo sentido da curva com t aumentando. [Dica: Consulte a Figura 1 e considere os casos e separadamente.]
Passo 1
Oie, belezinha? Bora resolver uma questãozinha de demonstração?
Como resolvemos? Se liga da dica!
Para mostrar que o vetor tangente aponta no mesmo sentido da curva conforme aumenta, siga estes passos:
Vamos definir o vetor tangente como , considerando um ponto próximo para e . 3), podemos mostrar que , e finalizar que aponta na direção da curva quando aumenta.
Agora é só começarmos!
Passo 2
O vetor tangente é definido como:
Aqui assumimos que esse limite existe e que .
então nós sabemos que esse vetor está na linha tangente à curva. Como na Figura 1, deixe os pontos e serem vetores de posição e .
Passo 3
O vetor são aponta de para , então:
Se , então , assim, está “a frente” de na curva.
Se for suficientemente pequeno (podemos considerar ser o menor que quisermos desde que ). Assim, aproxima a curva de para , portanto, aponta aproximadamente na direção da curva à medida que aumenta.
Desde que seja positivo:
Os pontos estão na mesma direção.
Passo 4
Se , então , então fica “atrás” de na curva.
Se for suficientemente pequeno, aproxima a curva, mas aponta na direção da diminuição de . No entanto, é negativo, então
Os pontos estão em direção oposta.
Passo 5
Isto é, na direção de aumentar . Nos dois casos, a diferença do quociente aponta na direção de aumentar .
O vetor tangente é o limite desse quociente de diferença, portanto, ele também deve apontar na direção de aumentar .
Resposta
Demostração feita nos passos acima.