Os astrônomos usam uma técnica chamada estereografia estelar para determinar a densidade das estrelas em um aglomerado estelar a partir da densidade (bidimensional) observada, que pode ser analisada a partir de uma fotografia. Suponha que em um aglomerado esférico de raio a densidade das estrelas dependa somente da distância do centro do aglomerado. Se a densidade estelar aparente for dada por , onde é a distância planar observada do centro do aglomerado e é a densidade real, pode ser mostrado que

Se a densidade real das estrelas em uma aglomerado for , ache a densidade aparente .

Vamos começar resolvendo a nossa integral imprópria:

Aplicando a distributiva nos termos do numerador:

E separando essa soma em três integrais, vamos ter:

Chamando a primeira integral de , a segunda de e a terceira de , temos:

Onde é o resultado desse limite. Então, vamos resolver cada integral separadamente e depois juntar tudo para calcular o limite.

Para o , vamos usar a substituição:

Dessa forma, temos:

E derivando, obtemos:

Então, substituindo na integral:

Integrando em relação a :

E voltando à nossa variável original, usando a mesma substituição, temos:

Para o , usando a fórmula , chegamos em:

E para, usaremos Então, obtemos:

Pra ir finalizando, vamos fazer a soma dos três resultados obtidos e calcular o limite:

Aplicando os limites de integração:

E calculando o limite, obtemos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉