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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 39

Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante.

∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x ; u = 1 - e - x

[Nota: u → 1 quando x → + ∞ ]

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral.

Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Além disso, iremos resolver o problema através do método da substituição u dada para cada caso.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x = lim a → 0 + ⁡ ∫ a + ∞ e - x 1 - e - x d x

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, o limite deve resultar em um valor inteiro.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite através da substituição, teremos:

u = 1 - e - x → d u = e - x d x

E:

Quando x = + ∞ → u = 1

Quando x = a → u = 1 - e - a

Então:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a + ∞ e - x 1 - e - x d x = lim a → 0 + ⁡ ∫ 1 - e - a 1 d u u = lim a → 0 + ⁡ ∫ 1 - e - a 1 u - 1 / 2 d u

Resolvendo essa integral pela fórmula 3 da lista de integrais na página 489 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed. - ANTON:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a + ∞ e - x 1 - e - x d x = lim a → 0 + ⁡ 2 u | 1 1 - e - a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a + ∞ e - x 1 - e - x d x = 2 lim a → 0 + ⁡ 1 - 1 - e - a

Logo:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a + ∞ e - x 1 - e - x d x = 2 1 - 0 = 2

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente e terá o mesmo valor do resultado do limite.

Resposta

∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x = 2

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(a) Dê um argumento informal razoável, baseado em áreas, que explique por que as integrais ∫ 0 + ∞ sin ⁡ x d x e ∫ 0 + ∞ cos ⁡ x d x divergem.(b) Mostre que ∫ 0 + ∞ cos ⁡ x x d x diverge.