Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 10
7 – 18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
10.
Passo 1
Opa! Blz?
Vamos lá, você vai ver que o teorema fundamental do cálculo não é um bicho de sete cabeças!
O teorema diz que se você primeiro integra uma função contínua e depois diferencia o resultado (ou vice-versa), você volta à função original. É tipo um passe de mágica matemático! ✨
Ou seja, nosso exercício quer a derivada da função que é resultado dessa integral:
Bora?
Passo 2
A Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) diz que se:
Olhando para a expressão dada a é igual a
E no lugar de termos , temos um , mas isso é só questão de notação, não muda nada as contas.
Mas o que acontece com os limites de integração?
O limite inferior é uma constante e não afeta a derivada (lembra que a derivada de uma constante é zero?). Já limite superior é a variável e é justamente onde o teorema se aplica diretamente.
O limite de integração da nossa função é , mas seria a mesma coisa se tivesse um no lugar do , porque novamente é só o nome da variável, então pelo teorema, a gente sabe que a derivada fica:
Então, resumindo, quando você tiver que encontrar a derivada de uma integral, ela vai ser a própria função que você está integrando:
- Temos a função:
- Definimos como a integral de de até , onde é uma constante
- A derivada é simplesmente , ou seja,
Entendeu tudinho? Responde Aí!
