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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 30

Calcule as integrais que convirjam.

int_1^(+ oo) (d x)/(x sqrt(x^2 - 1))

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_1^(+ oo) (d x)/(x sqrt(x^2 - 1))

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar dois limites, um contendo cada limite da integral. Fazendo isso:

int_1^(+ oo) (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = underset(a -> 1^+)(lim) int_a^2 (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) + underset(b -> + oo)(lim) int_2^b (d x)/(x sqrt(x^2 - 1))

Assim, caso um dos limites não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir resultando em valores inteiros.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (aqui a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério!!) usando a fórmula 23 na página 489 do livro Cálculo Vol. 1 – 10 ª Ed. - ANTON, teremos que:

underset(a -> 1^+)(lim) int_a^2 (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = underset(a -> 1^+)(lim) [arcsec |x|] | [[2],[a]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 1^+)(lim) int_a^2 (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = underset(a -> 1^+)(lim) [arcsec |2| - arcsec |a|]

Logo:

underset(a -> 1^+)(lim) int_a^2 (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = arcsec |2| = (pi)/(3)

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

underset(b -> + oo)(lim) int_2^b (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = underset(b -> + oo)(lim) [arcsec |x|] | [[b],[2]]

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

underset(b -> + oo)(lim) int_2^b (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = underset(b -> + oo)(lim) [arcsec |b| - arcsec |2|]

Logo:

underset(b -> + oo)(lim) int_2^b (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = (pi)/(2) - (pi)/(3) = (pi)/(6)

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

int_1^(+ oo) (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = (pi)/(3) + (pi)/(6) = (3 pi)/(6)

Logo:

int_1^(+ oo) (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = (pi)/(2)

Resposta

int_1^(+ oo) (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = (pi)/(2)

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